Martin David Palmer -- Grant PCE-2023-2001

Rezumat

Domeniul acestui proiect de cercetare constă în diversele interfețe între topologia algebrică, topologia în dimensiune mică, topologia cuantică, teoria grupurilor și teoria reprezentărilor. Tema unificatoare este studiul spațiilor de moduli, omologia lor și proprietățile (grup-teoretice și reprezentare-teoretice) ale grupurilor lor fundamentale, care includ grupurile braid și grupurile mapping class.

Spațiile de moduli sunt omniprezente în matematică și au o gamă largă de aplicații, de la teoria analitică a numerelor, teoria nodurilor și fizica teoretică până la subiecte mai aplicate, cum ar fi robotica și algoritmii de planificare a mișcării. În plus, teoria reprezentării grupurilor lor fundamentale – în special grupurilor mapping class – este extrem de bogată.

În cadrul acestei teme generale, avem 5 direcții de studiu:
(1) Omologia spațiilor de configurații pe varietăți închise. Deși acesta este un subiect foarte clasic, sunt încă multe lucruri care nu se cunosc aici.
(2) Reprezentări ale grupurilor mapping class de suprafețe, inspirat de întrebarea deschisă de lungă durată dacă aceste grupuri sunt liniare. Vom investiga nucleele noilor familii de reprezentări.
(3) Omologia grupurilor mapping class de suprafețe de tip infinit, cu conexiuni la sisteme dinamice.
(4) Extensii necomutative ale reprezentărilor cuantice ale nodurilor și linkurilor.
(5) Serii centrale descendente de grupuri de aranjamente (grupuri fundamentale de complemente ale aranjamentelor de hiperplane complexe).